DETERMINANTES 1

2. DETERMINANTES:

2.1. Determinantes de orden dos:

Se obtiene a partir de:

 

Y algún ejemplo lo podemos ver así: 

2.2. Determinantes de orden tres:

Se obtiene de la siguiente forma: 

• En cada producto hay un factor de cada fila y uno de cada columna.

• Están todos los posibles productos con un factor de cada fila y uno de cada columna.

• La mitad de los sumando tienen signo +, y la otra mitad, signo -. Estos seis sumandos se recuerdan fácilmente con la regla de Sarrus: 

2.2.1. Propiedades de los determinantes

• El determinante de una matriz es igual que el de su traspuesta: 

• Si una matriz cuadrada tiene una línea (fila o columna) de ceros, su determinante es cero.

• Si se permutan dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo: 

• Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es cero.

• Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese número.

• Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o dos columnas) proporcionales, su determinante es cero.

• Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen invariantes: 

 

• Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación lineal de las demás paralelas, su determinante no varía.

• Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero. Y recíprocamente: si un determinante es cero, tiene alguna fila (y alguna columna) combinación lineal de las demás.

• El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes: